马根济出生在英国，15岁辍学在一家商铺做店员，受家庭的影响，马根济从小就立志通过行医来救人。1870年10 月，他进入爱丁堡医学院读书，4年后毕业，并在伦敦皇家眼科医院实习。此时，一则刊登在爱丁堡医学杂志上的招聘启事引起了他的注意，伦敦会正在向爱丁堡医学院征集前往中国工作的医生，马根济随即报名参加。1875年，马医生到达汉口。到达汉口后，马上开始了他在当地的医疗工作。尽管刚刚来到中国，马根济的中文水平还十分有限，但随着时间的推移，马根济医生在当地声名鹊起。许多病人从很远的地方来找他治疗，“我的名气开始在汉口一带传播，长江流域的许多人都知道马医生。”马根济在自己的日记里这样写道。

1878年，马根济是作为英国伦敦会传教医师从汉口来到天津，因给李鸿章的夫人治病且有效，经李鸿章倡集资金，在天津建一处率先引进西医的医院，马根济被聘请主其事，地点选在三岔口的大王庙（遗址今南运河北路的曾公祠西侧）。大王庙西医院是个施医舍药的免费西医门诊所，“凡局之经费，皆中堂之仁施”。该医院一建成就取得了巨大成功。根据市档案馆档案记载，马大夫对于前来就医的病人，只收挂号费，不收医药费，生活贫困者则连挂号费也免交。在医院经费不足时，只收一部分药费(比如病人用四天的药只收银元3角)，生活贫困者免交药费。再加上马大夫医术精湛，前来求医的人每天络绎不绝。档案里的一份统计资料显示，冬天求医者每天有200余人，夏天则多至每天400—500人，医院里150余张病床基本上天天满员，而医院里医师数量又有限，马大夫除了想方设法筹集捐款之外，每天都忙碌在各个病房之间。

在医院初具规模以后，马根济开始筹划建立一所医学校。1881年，中国政府决定召回在美国的留学生。马根济借此机会向李鸿章表示，希望能够成立一所学校培养中国医务人员，让他们学习西医药知识和外科手术，这个建议得到李鸿章的赞许和认可。1881年12月15日，这所英文名称为“总督医院附属医学校”的医学堂正式开学。当时《教务杂志》评论说：“可以说，医学堂的开设开辟了中国教育的新领域。”这所学校，就是北洋医学堂的前身。

1888年2月，年仅37岁的马根济因劳累过度而病逝在岗位上，这成为令津门痛惜的一件大事。他的无私奉献精神令中国人称颂：“贫民医药之救，本慈善之怀，不分国籍、不分种族。”马根济去世后，李鸿章也停止了对总督医院的经济资助，医院被伦敦教会收买，医学馆由清政府接收，成为后来的北洋医学堂。

1924年1月，经在津外商集资，拆除了医院原庙宇式建筑，重建了砖木结构的医院门诊部、护士楼、医师住宅楼，设计方是英商永固工程司。1929年，医院还创办了护士学校，后以“济华高级护士学校”名称，向政府注册。为纪念马根济的立业之功，将医院改名为“马大夫纪念医院”。此后，仍由永固工程司设计，于1930年建成钢筋混凝土框架结构4层带地下室的北楼；1935年建成三面组合式南楼病房。并于同期建成3层的后楼。总建筑面积5541.80平方米。新中国成立后，医院由人民政府接管，1953年，更名为天津市立人民医院。1952年著名肿瘤专家金显宅教授在该院建立了我国个肿瘤科，后发展成为肿瘤专科医院。1987年迁出原址，定名为天津市肿瘤医院。原址成为天津市口腔医院。

2003年，在天津市口腔医院发现清光绪六年（1880）兴建的马大夫医院建院纪念碑，碑首雕有云纹，篆文为“博施济众”。纪念碑对“救死扶伤无国界”进行了贴切诠释。